極速證明三段論邏輯 (Syllogistic logic) 有效性的方法:標星法


基礎邏輯學通常都會教三段論邏輯( Syllogistic logic ,有時亦稱「詞項邏輯 (term logic)」),並要學生證明其中推論的有效性 (validity) 。

現在有個非常簡單實用的方法,可以檢驗所有詞項邏輯的推理是否有效,稱為「標星法 (The star test) 」,由哲學家 Harry J. Gensler 所發明。

詞項邏輯由「 all 」、「 no 」、「 is」 、 「not」、 「some」這五個符號組成合式公式 (well-formed formula, 簡稱 wff) 。這些合式公式都是具有以下八種形式的序列:

每個小格裡的兩個形式命題都是互相矛盾 (contradictories) 

為了使用標星法,首先把所有合式公式裡緊接著「all」的字母,以及「no」和「not」之後的所有字母都劃上底線。換言之,以上合式公式都變成以下樣子:


標星法的兩個步驟
現在,為了使用標星法,我們遵循以下兩個步驟:
1. 在詞項邏輯的論證中,將前提中劃上底線的字母都標示星星,並且,對結論上沒有劃上底線的字母都標示星星。
2. 詞項邏輯的論證是有效的,當且僅當,在這論證裡,所有大寫字母都有而且只有一粒星星,以及,有而且只有一個合式公式的右側有星星。

示範
現在考慮以下的論證是否有效:
1.  all A is B
2.  all B is C
3.∴ all A is C
我們先根據上述做法把論證裡所有合式公式的字母都劃上適當的底線:
1. all A is B
2. all B is C
3. ∴ all A is C
然後我們將前提中劃上底線的字母都標示星星,並且,對結論上沒有劃上底線的字母都標示星星,即:
1. all A* is B
2. all B* is C
3. ∴ all A is C*
以上論證是有效的,因為它滿足:
1. 論證中,每個大寫字母 A 、 B 、 C ,都有而且只有一粒星星
2. 論證中,有而且只有一個合式公式的右側(結論裡 C 的位置)有星星

有效論證的幾個例子
【例一】
1.no P* is B*
2.some C is B
3.∴ some C* is not P
解說:三個大寫字母 P 、 B 、 C 都有而且只有一粒星星,以及,有而且只有一個合式公式(前提 1 )的右側有星星。

【例二】
1. a is F
2. a is G
3. ∴ some F* is G*
解說:兩個大寫字母 G 、 F 都有而且只有一粒星星,以及,有而且只有一個合式公式(結論)的右側有星星。

【例三】
1. all A* is B
2. some  A is not C*
3. ∴ some B* is  not C
解說:三個大寫字母 A  、 B 、 C 都有而且只有一粒星星,以及,有而且只有一個合式公式(前提 2 )的右側有星星。

無效論證的幾個例子
【例一】
1. all M* is P
2. all S* is M
3. ∴ some S* is not P
解說:大寫字母 P 沒有星星;沒有合式公式的右側有星星。

【例二】
1. no P* is B*
2. some C is not B*
3. ∴ some C* is P*
解:大寫字母 P 和 B 都有超過一個星星;三個(因此不是只有一個)合式公式的右側都有星星。

【例三】
1. some A is B
2. all B* is C
3. ∴no C is A
解:大寫字母 A 和 C 都沒有星星;沒有合式公式的右側有星星。

標星法並不限典型的定言三段論,更適用於檢驗所有詞項邏輯內的論證的有效性
標星法可以應用在所有詞項邏輯的論證中,並不局限只涉及兩個前提、一個結論的典型定言三段論論證。這就是說,只要屬於詞項邏輯的合式合式的論證,不論有多少前提,標星法都可以應用,譬如下論證:
【涉及三個前提也可以檢驗】
1. some A is B
2. all B* is C
3. no C* is D*
∴ some A* is not D
解說:以上論證是有效的。因為:兩個大寫字母 A、B、C、D 都有而且只有一粒星星,以及,有而且只有一個合式公式(前提3)的右側有星星。

【只有一個陳述也可以檢驗】
1. ∴ all A is A* 
【涉及四個前提也可以檢驗】
1. x is A
2. y is x
3. y is B
4. all B* is C
5. ∴ some A* is C*
實用的標星法,可以用來快速檢視詞項邏輯推論的有效性
一般來說,在邏輯課裡,檢證詞項邏輯(三段論)推論的有效性,范恩圖 (Venn diagram) 已經算是最簡單易記的方法。但相比起標星法,後者更為快捷方便,而且上手極易,只要練習數次,就能輕易記得與應用其規則。

至於為何標星法有效,這涉及比較繁複的證明推論。如果有興趣的朋友,不妨看由標星法發明者 、哲學家  Harry J. Gensler 的親身解說

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