芝諾悖論:阿基里斯跑再快 也永遠追不上烏龜


「無限」的迷惑
「無限」是個非常有趣的概念。我們都知道它很巨大,卻難以完全領悟其真義。例如,我問你:正整數還是正單數,哪個數較多?有人可能猜是正整數,畢竟從常識看來,正整數可分為正單數和正雙數,那麼反過來兩者合起來才是正整數的數量,自然是正整數較多吧。

真正的答案是「一樣多」。沒錯,答案很違反直覺,但只要問題牽涉「無限」,就常常會出現違反直覺的難題。因此,「無限」是悖論的常見主題,衝擊我們對日常世界的理解。在眾多古老的悖論之中,哲學家芝諾 (Zeno of Elea) 便提出過最早的關於無限的悖論。

芝諾:運動和變化並不真實
芝諾出生於公元前 490 年左右,是前蘇格拉底時代巴門尼德 (Parmenides) 的學生。巴門尼德認為世界的本原是由「一」所構成,它是不變和無法摧毀的,因此我們日常觀察到的變化和運動都是虛假,現象世界的變動不過是幻象。

芝諾繼承了他老師的思想,認為變化和運動並不真實存在。他為了證明這一點,便想出了不少現今稱為「芝諾悖論 (Zeno's Paradoxes) 」的論證。著名的「阿基里斯永遠追不上烏龜」悖論,正是芝諾的發明。

阿基里斯永遠追不上烏龜
阿基里斯是《荷馬史詩》中速度驚人的英雄人物,理應可以追上任何人(及生物)。但芝諾告訴我們,即使是走得極慢的烏龜,只要烏龜先起步,阿基里斯就永遠不可能追上牠。這如何可能?芝諾要我們設想如下情況:
阿基里斯的步速比烏龜快十倍。但烏龜先起跑,到達 100 米前,阿基里斯才開始起跑。當阿基里斯到達烏龜一開始的 100 米,烏龜已上前了 10 米。阿基里斯繼續追過去,再跑前了 10 米,但烏龜又走前了 1 米。阿基里斯再追過去,又走多 1 米,但此時烏龜又走前了 10 厘米。如此類推,無論阿基里斯怎樣追上去、兩者相距再怎樣小,烏龜總是比阿基里斯走前多一點(例如阿基里斯走了 111.11111米,烏龜又到達 111.111111 米)。因此,阿基里斯永遠追不上烏龜。
上述結論看起來實在不可能為真。常識告訴我們,只要阿基里斯的步速比烏龜快,總有一個時間點,他就能追上烏龜。但上面的推論好像不見問題,因此我們又只能承認阿基里斯永遠追不上烏龜。悖論便由此而生。

「無限」的複雜性
芝諾認為,這裡之所以矛盾,正是因為預設了「運動是真實存在」。只要否定了這個預設,自然就能消解這個悖論。當然,我們不太可能接受芝諾的解決提案。運動怎可能不是真的,問題是如何對付上述的推論。

對於這個問題,相信不少數學人(包括我)都能給出如下答案:
我們不難看出上述推論牽涉「無限」這個概念,即上述整個過程中的位置點或時間不斷無限分割下去,因此阿基里斯似乎才永遠追不上烏龜;但是我們只要簡單運用現代微積分學計算一下,就能準確計算出阿基里斯追上烏龜所需的時間(以及兩人總共走了多遠就會相遇);所以這個悖論根本不成問題,阿基里斯當然可以追上烏龜。
上面的答案在哲學上稱為「標準解決方案」。它看起來輕鬆就能解決芝諾悖論,怪就只能怪芝諾當時不懂微積分或「極限」這個概念。但是,這種數學化的處理方式實情要承認一些極度違反直覺的假設(好吧,數學家會說我們要忍受這些違反直覺的假設),而且有些哲學家認為標準解決方案所需要預設「連續性 (continuity)」的數學說明,並不適用於物理世界,因此我們還是不要對標準解決方案太過樂觀。

對我來說,芝諾悖論吸引之處,正是在於無論你採用何種方式處理它,你都會發現它觸及了最深層而奧妙的數學和哲學概念,這正是它最有趣的地方。

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參考資料
Zeno's Paradoxes | Internet Encyclopedia of Philosophy
Zeno's Paradoxes (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

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